Skip to main content

矢量

矢量在平时使用中其实就是一个普通的数组，如 [X,Y,Z][X, Y, Z] 。矢量在表示时，会在上方加一个箭头，如矢量 A→\overrightarrow{A} ，下面为了简单就不加箭头了。

矢量只有方向和大小，没有位置。如下图中，矢量 A 可以表示为 [1,1][1, 1] ，它和矢量 B 是同一个矢量，因为矢量没有位置，所以可以随便的移动它，最终还是表示同一个矢量。矢量的箭头那一端称为终点，另一端称为起点。

零矢量#

零矢量每个位置都是 0 ，如三维零矢量可以表示为 [0,0,0][0, 0, 0]，零矢量没有大小、没有方向当然它也没有位置。任何矢量加上零矢量都等于它本身。

矢量加减法#

矢量的加减法就和标量的加减法一样，就是把矢量的对应项加或减起来。矢量只能和同维度的矢量相加或相减。

[x1, y1, z1] + [x2, y2, z2] = [x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2]
[x1, y1, z1] - [x2, y2, z2] = [x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2]

矢量加法是可交换的 A+B=B+AA + B = B + A，矢量减法可反交换 A−B=−(B−A)A - B = -(B - A)。

在几何中，矢量的加减法如下图所示。

A+BA + B 是把一个点先应用 A ，然后应用 B ，然后 A+BA + B 就等于从 A 的尾部到 B 的头部的矢量。 A−BA - B 也是一样，先应用 A，再应用 -B （也就是将 B 的方向反转下）。需要注意的是 A−BA - B 与 B−AB - A 是两个方向相反的矢量。

标量和矢量乘法#

标量和矢量乘法也非常简单，直接用标量乘上矢量中各个项就行了。

k * [x, y, z] = [kx, ky, kz]

如果 k 为 -1 时，会得到矢量的负矢量（方向相反，大小相等）。

在几何中，标量乘矢量，标量就是矢量长度的缩放因子，如 k 等于 2，那么所得矢量是原矢量两倍长。

矢量大小#

矢量的大小用双垂直线表示，比如矢量 AA 的大小表示为 ∥A∥\| A \| 。要计算矢量大小也非常简单，只要运用勾股定理就行了。

∥A∥=∥[x,y]∥=x2+y2\| A \| = \| [x, y] \| = \sqrt{x^2+y^2}
∥B∥=∥[x,y,z]∥=x2+y2+z2\| B \| = \| [x, y, z] \| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}

单位矢量#

单位矢量是大小为 1 的矢量，单位矢量也称为归一化矢量或法线，称为法线时一般表示该矢量垂直与一个表面。

要归一化一个矢量，只需要将矢量除以它的大小就行了。

len=∥[x,y,z]∥=x2+y2+z2len = \| [x,y,z] \| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}
norm=[x,y,z]len=[xlen,ylen,zlen]norm = \frac{[x, y, z]}{len} = [\frac{x}{len}, \frac{y}{len}, \frac{z}{len}]

归一化一个矢量，就是将矢量的长度变为 1，方向不变。

矢量乘法#

矢量有两种乘法，分别是点积和叉积。

点积#

矢量点积的结果是一个标量，符号是一个点，是将两个矢量各个分量相乘再相加。

[x1,y1,z1]⋅[x2,y2,z2]=x1x2+y1y2+z1z2[x1,y1,z1] \cdot [x2,y2,z2] = x1x2 + y1y2 + z1z2

点积满足如下性值。

A⋅B=B⋅AA \cdot B = B \cdot A
(kA)⋅B=k(A⋅B)=A⋅(kB)(kA) \cdot B = k(A \cdot B) = A \cdot (kB)
A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅CA \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C
A⋅A=∥A∥2A \cdot A = \| A \|^2

在几何上，矢量点积可以解释为投影。下图中的矢量 A 为单位矢量。

点积 A⋅BA \cdot B 等于 B 投影到平行于 A 的任意线上的有符号长度，乘以 A 的长度。

矢量的点积可以给两个矢量的方向做一个初略的判断，如果两个矢量方向差不多相同则点积大于 0，如果垂直则等于 0，如果差不多相反则小于 0。

利用点积我们还可以把一个矢量分解为两个矢量，分别是垂直分量和平行分量。

上图中 A 还是单位矢量。我们知道 B 等于 B∥+B⊥B\| + B\bot。其中 ∥B∥∥\|B\shortparallel \| 等于 A⋅BA \cdot B 。所以我们可以得出下面结论。

B∥=∥B∥∥∗A=(A⋅B)AB\| = \|B\shortparallel \| * A = (A \cdot B)A
B⊥=B−B∥=B−(A⋅B)AB\bot = B - B\| = B - (A \cdot B)A

我们还可以利用点积求出两个矢量间的夹角。

上图中 A 和 B 都是单位矢量。根据基本三角函数，cos(θ) 等于对边的邻边比斜边。

cos(θ)=A⋅B∥B∥=A⋅Bcos(\theta) = \frac{A \cdot B}{\| B \|} = A \cdot B

两个单位矢量的点积就等于它们之间的余旋值。那么我们也可以得出任何矢量之间余旋值得公式。

A⋅B=∥A∥∗∥B∥∗cos(θ)A \cdot B = \| A \| * \| B \| * cos(\theta)
θ=arccos(A⋅B∥A∥∗∥B∥)\theta = arccos(\frac{A \cdot B}{\|A \| * \|B \|})

叉积#

叉积只能应用在三维中，矢量叉积将产生三维矢量，矢量叉积使用 ×\times 符号。两个矢量叉积公式如下。

[x1,y1,z1]×[x2,y2,z2]=[y1z2−z1y2,z1x2−x1z2,x1y2−y1x2][x1,y1,z1] \times [x2,y2,z2] = [y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2]

叉积和点积一起使用时，叉积优先 A⋅B×C=A⋅(B×C)A \cdot B \times C = A \cdot (B \times C) ，因为如果点积优先的话，点积的结果是标量，不能再进行叉积运算。

叉积还有如下特性。

A×B=−(B×A)A \times B = -(B \times A)
(A×B)×C≠A×(B×C)(A \times B) \times C \not = A \times (B \times C)

在几何上，叉积产生的矢量将垂直原始的两个矢量，并且 A×BA \times B 的长度等于 A 的长度乘以 B 的长度乘以它们间的正弦值。

∥A×∥=∥A∥∗∥B∥∗sin(θ)\| A \times \| = \| A \| * \| B \| * sin(\theta)

如果 A 和 B 平行，或如果 A 或 B 为零矢量，则 A×BA \times B 的结果为零矢量。

A×BA \times B 矢量会有两个方向，那么是哪个朝向的矢量呢？

我们需要将 B 矢量的尾部移动到 A 矢量的头部，然后观察是顺时针旋转还是逆时针旋转。

如果是顺时针旋转，在左手坐标系中 A×BA \times B 会指向你，右手坐标系是远离。如果是逆时针旋转，在左手坐标系中 A×BA \times B 是远离，右手坐标系是指向你。（如下图所示）

其实我们也可以伸出双手，和坐标系中一样，右手坐标系伸出右手，左手坐标系伸出左手。手握拳伸出大拇指，然后将 4 指按照上图旋转方向旋转，大拇指的方向就是 A×BA \times B 的方向。

矢量和点#

我们发现我们并没有区分矢量和点，例如 [x, y, z]， 你可以说它是一个矢量，也可以说它是一个点。

矢量和点是两种概念，矢量有大小和方向，没有位置。而点只代表一个位置。

矢量可以描述位移，如果将 [2, 2] 的矢量，应用在 [1, 1] 的点上，则代表将点移动到 [3, 3] 位置。我们也可以将点表示为来自原点的矢量。

可以再添加一个分量来区分点和矢量，比如在三维中我们可以使用 4 个分量来区分点和矢量。[x, y, z, w]，如果 w 是 0 则代表矢量，否则代表是点，这也称为齐次坐标，将在后面章节中讲解。